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发布时间:2018-11-14

原标题:TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字

上千士兵背负沙袋奔向缺口,不顾一切地将沙袋扔进缺口中,企图重建一道城墙,远方,唐军依然按兵不动,他们队列整齐,军容冷漠,冷冷地注视城上的忙碌,他们根本不屑,在他们看来,这座城池不堪一击.

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“走吧!”刘皓一步踏出跨越时空直接降临到冥界当中,然后屈指一点,封锁着睡神和死神的封印立刻解开来。
幽冥突刺将朱竹清的速度提升到极限,身体甚至在空中带起一连串的残影,身上的两个魂环同时暴闪,玉天恒身体还未站稳,朱竹清就已经冲到了他面前。

远恩哼了一声,冷冷道:“你老老实实回答,否则,今晚我非杀了你不可。”

     关于本文说明,本人原博客地址位于http://blog.csdn.net/qq_37608890,本文来自笔者于2018年02月21日 23:10:04所撰写内容(http://blog.csdn.net/qq_37608890/article/details/79343860)。

       本文根据最近学习TensorFlow书籍网络文章的情况,特将一些学习心得做了总结,详情如下.如有不当之处,请各位大拿多多指点,在此谢过

一、相关概念

 1、MNIST

     MNIST(Mixed National Institute of Standards and Technology database),作为一个常见的数据集,是一个巨大的手写数字数据集,经常被用来测试神经网络,被广泛应用于机器学习识别领域。MNIST 数据集可在 http://yann.lecun.com/exdb/mnist/ 获取, 它包含了四个部分:

 

  •     Training set images: train-images-idx3-ubyte.gz (9.9 MB, 解压后 47 MB, 包含 60,000 个样本)

  •     Training set labels: train-labels-idx1-ubyte.gz (29 KB, 解压后 60 KB, 包含 60,000 个标签)

  •     Test set images: t10k-images-idx3-ubyte.gz (1.6 MB, 解压后 7.8 MB, 包含 10,000 个样本)

  •     Test set labels: t10k-labels-idx1-ubyte.gz (5KB, 解压后 10 KB, 包含 10,000 个标签)

 

     每一个训练元素都是28*28像素的手写数字图片,只有灰度值信息,空白部分为0,笔迹根据颜色深浅取[0, 1], 784维,丢弃二维空间信息,目标分0~9共10类。

 2、One-Hot编码

            在我们机器学习应用任务的实现过程中,针对有些非连续的数据,我们也会考虑使用数字来进行编码。例如“女人”编码为1,“男人”编码为2,即便如此,二者在数学上不存在连续关系,但是在机器学习算法中,会认为“女人”和“男人”之间存在着数学上的有序关系。

 

        One-Hot编码:独热编码,又被称为一位有效编码,其方法是使用N位状态寄存器来对N个状态进行编码,任意一个状态都有它独立的寄存器位,并且在任意时候只有一位有效。例如上文中说的“女人”和“男人”共有两种状态,那么就可以编码为01和10,对于有N个状态的特征,经过one-hot编码后就会变成N个二元值,而其中只有一个为1。  

 

           主要优点如下:

 

  •     解决了分类器不好处理属性数据的问题;

  •     在一定程度上也起到了扩充特征的作用;

 3、Softmax回归

   在 logistic 回归中,我们的训练集由  m 个已标记的样本构成: ,其中输入特征。(我们对符号的约定如下:特征向量 的维度为,其中  对应截距项 。) 由于 logistic 回归是针对二分类问题的,因此类标记。假设函数(hypothesis function) 如下:

 

 

将训练模型参数 extstyle heta,使其能够最小化代价函数 :

 

 

    在 softmax回归中,我们解决的是多分类问题(相对于 logistic 回归解决的二分类问题),类标 可以取 个不同的值(而不是 2 个)。因此,对于训练集 ,我们有 。(注意此处的类别下标从 1 开始,而不是 0)。例如,在 MNIST 数字识别任务中,我们有 个不同的类别。

      对于给定的测试输入,我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值 。也就是说,我们想估计 的每一种分类结果出现的概率。因此,我们的假设函数将要输出一个 维的向量(向量元素的和为1)来表示这 个估计的概率值。 具体地说,我们的假设函数 形式如下:

 

 其中  是模型的参数。请注意  这一项对概率分布进行归一化,使得所有概率之和为 1 。
 

为了方便起见,我们同样使用符号 来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时,将  用一个的矩阵来表示会很方便,该矩阵是将  按行罗列起来得到的,如下所示:

 

 

二、案例一Softmax回归实现

 1、简要概述 

      截止目前,我们已经知道了Logistic函数只能被使用在二分类问题中,但是它的多项式回归,即softmax函数,可以解决多分类问题。假设softmax函数ς的输入数据是C维度的向量z,那么softmax函数的数据也是一个C维度的向量y,里面的值是0到1之间。softmax函数其实就是一个归一化的指数函数,定义如下:

 

 

 

 式子中的分母充当了正则项的作用,可以使得

 

 作为神经网络的输出层,softmax函数中的值可以用C个神经元来表示。

 对于给定的输入z,我们可以得到每个分类的概率t = c for c = 1 ... C可以表示为:

 


 其中,P(t=c|z)表示,在给定输入z时,该输入数据是c分类的概率。

 下图展示了在一个二分类(t = 1, t = 2)中,输入向量是z = [z1, z2],那么输出概率P(t=1|z)如下图所示。

 2、代码实现过程如下

 

#Softmax分类函数及其应用代码实现
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.colors import colorConverter,ListedColormap
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cm
%matplotlib inline

#定义Softmax函数
def softmax(z):
    return np.exp(z)/np.sum(np.exp(z))
#展示在一个二分类(t=1,t=2)中,输入向量是z=[z1,z2],
#那么输出概率为P(t=1|Z)的情况。
nb_of_zs = 200
zs = np.linspace(-10,10,num=nb_of_zs)
zs_1, zs_2 = np.meshgrid(zs, zs)
y = np.zeros((nb_of_zs,nb_of_zs,2))
for i in range(nb_of_zs):
    for j in range(nb_of_zs):
        y[i,j,:] = softmax(np.asarray([zs_1[i,j],zs_2[i,j]]))
        
fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection="3d")
surf = ax.plot_surface(zs_1,zs_2,y[:,:,0],linewidth =0, cmap=cm.coolwarm)
ax.view_init(elev=30,azim=70)
cbar = fig.colorbar(surf)
ax.set_xlabel("$z_1$", fontsize=15)
ax.set_ylabel("$z_2$", fontsize=15)
ax.set_zlabel("$z_1$", fontsize=15)
ax.set_title("$P(t=1|mathbf{z})$")
cbar.ax.set_ylabel("$P(t=1|mathbf{z})$", fontsize=15)
plt.grid()
plt.show()

 

最终生成图像如下:

 

 

3、Softmax回归模型参数化的特点

    Softmax 回归有一个不寻常的特点:它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点,假设我们从参数向量 中减去了向量 ,这时,每一个  都变成了 )。此时假设函数变成了以下的式子:

 

 

   

 

   换句话说,从 中减去完全不影响假设函数的预测结果!这表明前面的 softmax 回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说, Softmax 模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数,可以求出多组参数值,这些参数得到的是完全相同的假设函数

     进一步而言,如果参数 是代价函数  的极小值点,那么 同样也是它的极小值点,其中 可以为任意向量。因此使 最小化的解不是唯一的。(有趣的是,由于 仍然是一个凸函数,因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是 Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的,这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题)。 

注意,当  时,我们总是可以将 替换为(即替换为全零向量),并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量  (或者其他 中的任意一个)而不影响假设函数的表达能力。实际上,与其优化全部的个参数 (其中 ),我们可以令 ,只优化剩余的  个参数,这样算法依然能够正常工作。

 在实际应用中,为了使算法实现更简单清楚,往往保留所有参数 ,而不任意地将某一参数设置为 0。但此时我们需要对代价函数做一个改动:加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。

 

三、TensorFlow实现Softmax Regression识别手写数字

 1、项目背景

     MNIST(Mixed National Institute of Standards and Technology database),简单机器视觉数据集,由几万张28X28像素的手写数字组成,这些图片只包含灰度值信息,空白部分为0,笔迹根据颜色深浅取[0, 1], 784维,我们的目标是对这些手写数字的图片进行分类,转化成0~9共10类。

 2、MNIST手写数字图片示例图

         

 3、算法结构特点

 

  • 使用Softmax Regression分类模型进行分类。

  • 只有输入层和输出层,没有隐含层。

 

4、TensorFlow 实现简单机器算法步骤

 

  • 定义算法公式,神经网络forward计算。

  • 定义loss,选定优化器,指定优化器优化loss。

  • 迭代训练数据。

  • 测试集、验证集评测准确率。

 

5、实现过程

     Softmax函数

 

 计算过程可视化如下

 

 具体代码实现如下

 

#调用相关数据
from
tensorflow.examples.tutorials.mnist import input_data mnist = input_data.read_data_sets("MNIST_data/", one_hot=True) #展示训练集、测试集、验证集样本 print(mnist.train.images.shape, mnist.train.labels.shape) print(mnist.test.images.shape, mnist.test.labels.shape) print(mnist.validation.images.shape, mnist.validation.labels.shape) #图像展示 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt #imshow data imgTol = mnist.train.images img = np.reshape(imgTol[1,:],[28,28]) plt.show()

图像如下

    

继续执行后续代码,查看Softmax Regression模型的效果情况

import tensorflow as tf
sess = tf.InteractiveSession()
x=tf.placeholder(tf.float32, [None,784])
W =tf.Variable(tf.zeros([784,10]))
b=tf.Variable(tf.zeros([10]))

y = tf.nn.softmax(tf.matmul(x,W)+b)
y_ =tf.placeholder(tf.float32, [None, 10])
cross_entropy =tf.reduce_mean(-tf.reduce_sum(y_*tf.log(y),
                                             reduction_indices=[1]))

train_step =tf.train.GradientDescentOptimizer(0.5).minimize(cross_entropy)
tf.global_variables_initializer().run()

for i in range(1000):
    
    batch_xs, batch_ys = mnist.train.next_batch(100)
    train_step.run({x: batch_xs, y_:batch_ys})

 correct_prediction =tf.equal(tf.argmax(y,1),tf.argmax(y_,1))

 accuracy = tf.reduce_mean(tf.cast(correct_prediction, tf.float32))
 
print(accuracy.eval({x: mnist.test.images, y_: mnist.test.labels}))

 

关于执行准确率情况,笔者测试了7次,结果不尽相同,基本都是0.92左右。

 第一次执行结果:0.9216;第二次三次执行结果:0.9171;第四次执行结果:0.9216;第五次执行结果:0.9193;第六次:0.9219;第七次:0.9165。

 四、小结

       本文涉及TensorFlow实现了一个简单的机器学习算法Softmax Regression,是一个没有隐含层的最浅的神经网络,整个流程在第三部分也提到,这里再次罗列出来,如下:     

 

  1. 定义算法公式,神经网络forward计算。
  2. 定义loss,选定优化器,指定优化器优化loss。
  3. 迭代训练数据。
  4. 测试集、验证集评测准确率。

 

          这四部分是使用TensorFlow进行算法设计、训练的核心流程,会贯穿神经网络的各类应用。需要提醒的是,我们定义的各个公式其实只是Computation Graph,在执行该行代码时,计算还没有实际发生,只有等调用run方法,并feed数据时计算才真正执行。例如cross_entropy、trian_step、accuracy等都是计算图中的节点,而并不是数据结果,可以通过调用run方法执行这些节点或者讲运算操作来获取结果。

          至于第三部分Softmax Regression达到的效果,92%的准确率还不错,但还达不到实用的程度。手写数字的识别主要应用在银行等金融领域,如果准确率不够高,引起的后果将会非常严重。后续文章中,会从感知机、卷积神经网络的角度解决MNIST手写数字识别问题。

 

        关于使用TensorFlow来实现Softmax Regression识别手写数字的撰写,暂时先到此。

 
 

 

主要参考资料《TensorFlow实战》(黄文坚  唐源 著)(电子工业出版社)

 

编辑:道龙

发布时间:2018-11-14 13:50:17

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责任编辑:伯安杜成